导数的定义及运算

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导数的定义

设函数 f(x) 在 x_0 附近有定义. 如果存在有穷极限

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0},

或写作

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x},

那么我们就说 f(x) 在 x_0 处可导, 并且把上述极限值称为 f(x) 在 x_0 处的导数, 记作 f'(x_0).

导数的运算

在以下的讨论中, 我们约定: 设 f(x) 和 g(x) 在 x_{0} 处可导.

定理 1

设 h(x) = f(x) \pm g(x), 则有

h'(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0).

证明

这里展示 h'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0), 的证明, 对于 h'(x_0) = f'(x_0) - g'(x_0), 读者可尝试自行证明.

\begin{align*} h'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x_0 + \Delta x) - h(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) + g(x_0 + \Delta x) - f(x_0) - g(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x} \\ &= f'(x_0) + g'(x_0) \end{align*}

定理 2

设 h(x) = c \cdot f(x), 则有

h'(x_0) = c \cdot f'(x_0).

证明

\begin{align*} h'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x_0 + \Delta x) - h(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{c \cdot f(x_0 + \Delta x) - c \cdot f(x_0)}{\Delta x} \\ &= c \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \\ &= c \cdot f'(x_0) \end{align*}

定理 3

设 h(x) = f(x) \cdot g(x), 则有

h'(x_0) = f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0).

证明

\begin{align*} h'(x_0) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x_0 + \Delta x) - h(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) \cdot g(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) \cdot g(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \cdot g(x_0 + \Delta x) + f(x_0) \cdot g(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \cdot g(x_0)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} g(x_0 + \Delta x) \cdot \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} + \lim_{\Delta x \to 0} f(x_0) \cdot \frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x} \\ &= f'(x_0) \cdot g(x_0) + f(x_0) \cdot g'(x_0) \end{align*}

定理 4

设 \displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, 则有

h'(x_0) = \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{g^2(x_0)}.

证明

要证原式, 即证 \displaystyle \left[ \frac{1}{g(x_0)} \right]' = - \frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)},

\begin{align*} \left[ \frac{1}{g(x_0)} \right]' &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{1}{g(x_0 + \Delta x)} - \frac{1}{g(x_0)}}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0) - g(x_0 + \Delta x)}{g(x_0 + \Delta x) \cdot g(x_0) \cdot \Delta x} \\ &= \frac{1}{g^2(x_0)} \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0) - g(x_0 + \Delta x)}{\Delta x} \\ &= -\frac{g'(x_0)}{g^2(x_0)}, \end{align*}

因此

\begin{align*} h'(x_0) &= \left[ f(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)} \right]' \\ &= f'(x_0) \cdot \frac{1}{g(x_0)} + f(x_0) \cdot \left[ \frac{1}{g(x_0)} \right]' \\ &= \frac{f'(x_0) \cdot g(x_0) - f(x_0) \cdot g'(x_0)}{g^2(x_0)}. \end{align*}