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排序不等式
你可以在这里下载本文的 PDF. 若两组实数 a_1, a_2, \cdots, a_n; b_1, b_2, \cdots, b_n 满足 a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n; b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n, 那么
柯西不等式
你可以在这里下载本文的 PDF. 设 a_1, a_2, \cdots, a_n; b_1, b_2, \cdots, b_n 是任意实数, 则 \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right
导数的定义及运算
导数的定义 设函数 f(x) 在 x_0 附近有定义. 如果存在有穷极限 \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, 或写作 \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delt
函数极限的定义及运算
函数极限的定义 函数极限的定义有几种等价表述, 这里介绍柯西 (Cauchy) 提出的 \varepsilon-\delta 式定义. 设 x_0, A \in \mathbb{R}, 并设函数 f(x) 在 x_0 附近有定义. 如果对任意 \varepsilon > 0, 存在 \delta >
夹逼定理
设 f(x), g(x), h(x) 在 x_0 附近有定义, 且满足 f(x) \le g(x) \le h(x). 如果 \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A, 那么 \lim_{x \to x_0} g(x) = A. 证明 任取
斯特瓦尔特 (Stewart) 定理
在 \triangle ABC 中, D 是边 BC 上异于 B, C 的一点, 连接 AD, 则有 AB^2 \cdot CD + AC^2 \cdot BD - AD^2 \cdot BC = BC \cdot CD \cdot BD. 证明 在 \triangle ABD<
梅涅劳斯 (Menelaus) 定理
点 D, E, F 分别是 \triangle ABC 三边 AB, AC, BC 所在直线上的点, 且 D, E, F 三点共线, 则有