柯西不等式
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设 a_1, a_2, \cdots, a_n; b_1, b_2, \cdots, b_n 是任意实数, 则
\sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2 \geq \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2,
当且仅当 \displaystyle \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} 时取等, 规定 b_i = 0 时, a_i = 0.
证明
为了方便书写, 设 S = \{1, 2, \cdots, n\}. 对所有 a_x b_y (x, y \in S) 进行排序. 由排序不等式得
\sum_{x,y \in S} \left( a_x b_y \right) \left( a_x b_y \right) \geq \sum_{x,y \in S} \left( a_x b_y \right) \left( a_y b_x \right),
其中左式相当于同序和, 右式相当于乱序和. 又有
\sum_{x,y \in S} \left( a_x b_y \right) \left( a_x b_y \right) = \sum_{x,y \in S} a_x^2 b_y^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 \sum_{i=1}^n b_i^2,
\sum_{x,y \in S} \left( a_y b_x \right) \left( a_x b_y \right) = \sum_{x,y \in S} a_x b_x \cdot a_y b_y = \left( \sum_{i=1}^n a_i b_i \right)^2.
因此
\sum_{i=1}^{n} a_i^2 \sum_{i=1}^{n} b_i^2 \geq \left( \sum_{i=1}^{n} a_i b_i \right)^2.
而对于取等条件, 只能为
\forall x, y \in S, a_x b_y = a_y b_x,
\Rightarrow \frac{a_x}{b_x} = \frac{a_y}{b_y} \left( b_x, b_y \neq 0 \right),
当 b_i = 0 时, 显然只能让 a_i = 0.